गणितज्ञों ने सुलझाई नेटवर्क के 'प्रावस्था परिवर्तन' की दशकों पुरानी पहेली

क्रिसमस 2025 से ठीक पहले वाले हफ्ते में, ईटीएच ज़्यूरिख में काम कर रहे पांच गणितज्ञों ने पर्कोलेशन सिद्धांत की सबसे बड़ी अनसुलझी समस्याओं में से एक का प्रमाण पूरा किया। ये पांच गणितज्ञ थे -- सहर डिस्किन, फिलिप ईसो, रित्विक रमन राधाकृष्णन, बेनी सुदाकोव और विंसेंट टैसिओं। पर्कोलेशन सिद्धांत यह अध्ययन करता है कि किसी नेटवर्क में तरल पदार्थ किस तरह बहता है। 17 दिसंबर की सुबह तक टीम को यकीन हो गया था कि उनका तर्क सही है, और क्रिसमस तक पूरा प्रमाण तैयार हो गया -- इस तरह इस दशकों पुराने सवाल का जवाब मिला कि खुलने के बाद पर्कोलेशन नेटवर्क कितनी तेज़ी से भर जाता है।

पर्कोलेशन मॉडल साइमन ब्रॉडबेंट और जॉन हैमर्सली द्वारा गैस मास्क के कार्बन फिल्टर को समझने के लिए बनाई गई एक विधि पर आधारित हैं। एक जालक (lattice) यानी समान दूरी पर स्थित बिंदुओं की एक ग्रिड लीजिए, और हर पड़ोसी बिंदु-जोड़े के लिए सिक्का उछालिए -- चित आने पर उन्हें एक किनारे से जोड़ दीजिए, जिससे तरल बह सके; पट आने पर बहाव रुक जाता है। तरल कितनी दूर तक बहता है, यह चित आने की प्रायिकता पर निर्भर करता है। क्रांतिक प्रायिकता नाम की एक सीमा से नीचे तरल छोटे, अलग-थलग गड्ढों में जमा होता है। उस सीमा को पार करते ही जालक अचानक खुल जाता है -- यह ठीक वैसा ही प्रावस्था परिवर्तन है जैसे पानी का बर्फ में बदलना।

इस क्षेत्र की शुरुआत कोयले से हुई। 1940 के दशक में, डीएनए की संरचना पर काम के लिए बाद में मशहूर हुईं वैज्ञानिक रोज़ालिंड फ्रैंकलिन, ब्रिटिश कोल यूटिलाइज़ेशन रिसर्च एसोसिएशन में कार्यरत थीं। वहां उन्होंने कोयले के सूक्ष्म छिद्रों का अध्ययन किया। बाद में शोधकर्ताओं ने 'शार्पनेस अनुमान' प्रस्तावित किया -- यह विचार कि क्रांतिक प्रायिकता से नीचे गड्ढे छोटे ही रहते हैं, जबकि उससे थोड़ा ऊपर जाते ही एक विशाल सागर हावी हो जाता है। न्यू जर्सी और मॉस्को के दो अलग-अलग समूहों ने 1980 के दशक में जालकों पर शार्पनेस को साबित किया, जिसे प्रिंसटन विश्वविद्यालय और कैलिफ़ोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ़ टेक्नोलॉजी के टॉम हचक्रॉफ्ट ने 'आधारभूत' बताया।

1996 में, वाइज़मैन इंस्टीट्यूट फॉर साइंस के इताई बेंजामिनी और उनके सहयोगी ओडेड श्रैम ने सवाल उठाया कि क्या शार्पनेस 'ट्रांजिटिव ग्राफ' नाम के एक व्यापक वर्ग के नेटवर्क पर भी लागू होती है। ईटीएच ज़्यूरिख का नया प्रमाण इस लंबे समय से खुले सवाल का जवाब एक साथ कई तरह के ग्राफ़ों के लिए देता है। तेल अवीव विश्वविद्यालय में पर्कोलेशन सिद्धांत और प्रायिकता का अध्ययन करने वाले असफ नाचमियास ने इस नतीजे को 'अद्भुत' (stunning) बताया।